Merhaba arkadaşlar size bu yazımızda Matematik Konuları hakkında bilgi vereceğiz. Yazımızı okuyarak bilgi sahibi olabilirsiniz. Polinomlar konusu ile ilgili bütün soruların cevabı sizleri bekliyor…
Polinomlar
- Polinom Tanımı
- Polinomun Özellikleri
- Polinomun Eşitliği
- Polinomlarda Dört İşlem
Polinom Tanımı
biçimindeki ifadelere x değişkenine göre düzenlenmiş reel katsayılı polinom (çok terimli) denir.
Burada a0, a1, a2, a3 …, an reel sayılarına polinomun katsayıları, a0, a1.x, a2.x2, a3.x3,…., an.xn ifadelerine polinomun terimleri olarak adlandırılır.
an.xn terimindeki an sayısına terimin katsayısı, x’in kuvveti olan n sayısına terimin derecesi olarak adlandırılır.
Derecesi en büyük olan terimin derecesine polinomun derecesi denir ve der [P(x)] ile gösterilir. Derecesi en büyük olan terimin katsayısı ise polinomun baş katsayısı olarak adlandırılır.
Polinomlar katsayılarına göre isimlendirilir. Katsayılarımız reel sayı ise reel katsayılı polinomlar, rasyonel sayı ise rasyonel katsayılı polinomlar, tam sayı ise tam katsayılı polinom denir.
Örnek:
Çünkü x’in üssü doğal sayı olmalıdır.
olmak üzere.
in her birine polinomun terimlerinin katsayıları denir.
in her birine polinomun terimleri denir.
Polinomun terimlerinden biri olan a2x2 teriminde x in kuvveti olan 2 ye bu terimin derecesi denir.
Polinomu oluşturan terimler içerisinde derecesi en büyük olan terimin katsayısına polinomun baş katsayısı, bu terimin derecesine de polinomun derecesi denir ve der [p(x)] ile gösterilir.
Değişkene bağlı olmayan terime polinomun sabit terimi denir.
Örnek:
Polinomunun katsayıları: 3, -2, 1, 5, 1 dir.
Polinomunun derecesi: 4 tür.
Polinomun Baş Katsayısı: 3 tür.
Sabit Terimi: 1 dir.
Tek dereceli terimlerin katsayıları: -2, 5 tir.
Çift dereceli terimlerin katsayıları: 3, 1, 1 dir.
Not: x=0 yazılarak polinomun sabit terimi, x=1 yazılarak, polinomun katsayılar toplamı bulunur. P(x) in sabit terimi P(0), katsayılar toplamı da P(1) dir.
Örnek:
olduğuna göre, P(x + 3)’ün katsayılar kaçtır?
Çözüm:
Not: Polinomun çift dereceli terimlerin katsayılar toplamı:
Tek dereceli terimlerinin katsayıları toplamı:
Örnek:
Sabit Polinom
c ϵ R ve c≠0 ( c, 0 dan farklı bir reel sayı ) olmak üzere P(x) = c biçimindeki polinomlar sabit polinom olarak adlandırılır. Sabit polinomun derecesi 0 dır.
Örnek: P(x)=5
Sabit polinomun derecesi 0 dır.
Sıfır Polinomu
P(x) = 0 biçimindeki polinomu sıfır polinomu olarak adlandırılır. Sıfır polinomunun derecesi tanımsızdır.
Her polinom bir fonksiyondur. Fakat her fonksiyon polinom olmayabilir.Buna göre, fonksiyonlarda yapılan işlemler polinomlarda da yapılır.
Polinomun Eşitliği
Aynı dereceli en az iki polinomun eşit dereceli terimlerinin katsayıları birbirine eşit ise bu polinomlara eşit polinomlar denir.
P(x) polinomunun katsayıları toplamı P(1) dir.
P(x) polinomunda sabit terim P(0) dır.
Herhangi bir polinomda; katsayılar toplamı bulunurken o polinomda değişkenler yerine 1 yazılır. Sabit terim bulunurken o polinomda değişkenler yerine 0 (sıfır) yazılır.P(ax + b) polinomunun; katsayıları toplamıP(a + b) ve sabit terimi P(b) dir.
Örnek:
P(x) = ax2 + (b – 3)x + 5
Q(x) = – 3x2 + 5x + c + 7
P(x) = Q(x) olduğuna göre a,b,c nin alabileceği değeri bulunuz.
P(x) = Q(x) ise ax2 + (b – 3)x + 5 = – 3x2 + 5x + c + 7
a = – 3
b – 3 = 5
b = 8
c + 7 = 5
c = – 2
Polinomlarda Dört İşlem
Polinomlarda Toplama Çıkarma İşlemi
Polinomlarda toplama çıkarma yapılırken, aynı dereceli terimlerin katsayıları toplanır ya da çıkarılır.
Not: Dereceleri farklı olan iki polinomun toplamının veya farkının derecesi, derecesi büyük olan polinomun derecesine eşittir.
Polinomlarda Çarpma İşlemi
P(x) ile Q(x) çarpılırken, P(x)’in bütün terimleri Q(x) in bütün terimleri ile çarpılır. Ortaya çıkan terimlerin toplamı, çarpımın sonucunu verir.
Örnek:
Polinomlarda Bölme İşlemi
der [ P(x) ] ≥ der [ Q(x)]
der [K(x) ] < der [ Q(x) ]
P(x) = Q(x) . B(x) + K(x)
der [ K(x) ] < der [B (x) ] ise Q (x ) ile B(x) in yer değiştirmesi kalanı değiştirmez.
K (x) = 0 ise P(x) polinomu Q(x) polinomuna tm olarak bölünür. Bu durumda P(x) in çarpanlarından biri Q(x) polinomudur.
Örnek-1:
Q (x)= x-1 polinomuna bölelim.
Örnek-2:
polinomunun (x – 2) ile bölümünden kalan kaçtır.
Polinomlarda Bölme İşleminin Yapılışı
Polinomlarda bölme işlemi sayılarda bölme işlemine benzer şekilde yapılır. Bunun için sırasıyla aşağıdaki işlemler yapılır.
⇒ Bölünen ve bölen polinomlar x değişkeninin azalan kuvvetlerine göre sıralanır.
⇒ Bölünen polinomun soldan ilk terimi , bölen polinomun soldan ilk terimine bölünür. Çıkan sonuç bölümün ilk terimi olur.
⇒ Bulunan bu sonuç bölen polinomun bütün terimleri ile çarpılarak aynı dereceli terimler alt alta gelecek şekilde bölünen polinomun altına yazılır.
⇒ Bölünenin altına yazılan çarpım polinomu , bölünenin polinomdan çıkarılır.
⇒ Yukarıdaki işlemlere , kalan polinomun derecesi , bölen polinomun derecesinden küçük oluncaya kadar devam eder.
Örnek:
Örnek:
P(x) = 4x3– 3x2 + x + 2 polinomunun ve Q(x) = x + 1 polinomu ile bölümünden bulunan kalanı ,bölüm polinomunu bulmadan bulunuz.
Çözüm:
K(x) polinomunu bölme yapmadan bulmamız isteniyor.
P(x) = Q(x) . B(x) + K(x) dir.
Der[ K(x)] < der[ Q(x) ] olacağı için, K(x) = c olur. ( c ∈ R )
P(x) = ( x + 1) . B(x) + c eşitliğinde x yerine -1 yazalım.
P(x) = ( -1 + 1) . B(- 1) + c
P(-1) = c bulunur.
P(-1 ) = 4 (- 1)3 – 3( -1)2– 1 + 2
P(-1 ) = 4 . (- 1) – 3 – 1 + 2
P(-1 ) = – 4 -3 – 1 + 2
P(-1 ) = – 6 olur.
**POLİNOMLAR**
Başlık: Polinom Nedir?
Polinomlar, matematikte sıkça kullanılan ve bir veya daha fazla terimden oluşan ifadelerdir. Her terimin bir katsayısı ve bir de üssü bulunur. Bu ifadeler genellikle x veya y gibi değişkenlerle ifade edilir. Örneğin, 3x^2 – 5x + 2 bir polinomdur.
Başlık: Polinom Terimleri
Polinomlar terimlerden oluşur. Her terim, katsayı ve üsse sahiptir. Katsayı, terimin önündeki sayısal değeri ifade ederken, üs, değişkenin üzerindeki sayısal değeri ifade eder. Örneğin, 3x^2 teriminin katsayısı 3, üssü ise 2’dir.
Başlık: Polinom Derecesi
Polinomların derecesi, en yüksek üssü olan terimi ifade eder. Derecesi n olan bir polinom, en yüksek üssü n olan bir terim içerir. Örneğin, 3x^2 – 5x + 2 polinomunun derecesi 2’dir.
Başlık: Polinom Toplama ve Çıkarma
Polinomlar, toplama veya çıkarma işlemine tabi tutulabilirler. Toplama işlemi, benzer terimlerin katsayılarını toplarken, benzer olmayan terimleri aynen yazarak gerçekleştirilir. Çıkarma işlemi ise toplama işleminin terimleri çıkarma işlemine tabi tutulması ile gerçekleştirilir.
Başlık: Polinom Çarpma ve Bölme
Polinomlar, çarpma veya bölme işlemine tabi tutulabilirler. Çarpma işlemi, her terimin diğer terimlerle çarpılmasıyla gerçekleştirilir. Bölme işlemi ise polinomların birbirine bölünmesiyle gerçekleştirilir. Ancak bölme işlemi daha karmaşık bir süreçtir ve daha fazla adım içerir.
Başlık: Faktorlere Ayırma
Faktorlere ayırma, bir polinomun çarpanlarına ayrılmasını ifade eder. Bu işlem, polinomu basit ve çarpanları ile ifade edilebilen daha küçük polinomlara ayırır. Örneğin, x^2 – 4 polinomu (x + 2) (x – 2) olarak faktorlere ayrılabilir.
Başlık: Örnek Polinom Problemleri
1) (3x^2 – 2x + 1) + (2x^2 + 3x – 5) toplamını bulun.
2) (4x^3 – 7x^2 + 2x – 5) – (2x^2 – 3x + 4) çıkarma işlemini yapın.
3) (x^2 – 4) polinomunu faktorlere ayırın.
Tablo: Polinom İşlemleri Örnekleri
| İşlem | İfade |
| ——– | —————— |
| Toplama | (3x^2 – 2x + 1) + (2x^2 + 3x – 5) |
| Çıkarma | (4x^3 – 7x^2 + 2x – 5) – (2x^2 – 3x + 4) |
| Çarpma | (3x^2 – 2x + 1) * (2x^2 + 3x – 5) |
| Bölme | (4x^3 – 7x^2 + 2x – 5) / (2x^2 – 3x + 4) |
Bu dersin konuları arasında polinomlar, terimler, derece, toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve faktorlere ayırma yer almaktadır. Polinomlarla ilgili soruları çözerken bu konuların önemi büyüktür.
